Con la partecipazione della più celebre coppia di Hollywood in veste di mascotte.

martedì 24 giugno 2014

Viaggio al centro della Terra, con Dan Brown e Dante Alighieri

Nel romanzo Inferno di Dan Brown, l'autore, per bocca di un personaggio che viene descritto come una mente superiore, liquida con una certa sufficienza la descrizione del passaggio di Dante al centro della Terra contenuta nel poema dantesco:
Nel canto conclusivo il poeta, per uscire dall'Inferno, deve scendere giù per il busto peloso del gigantesco Lucifero ma, una volta arrivato all'ombelico - il presunto centro della Terra -, la forza di gravità improvvisamente cambia direzione e Dante, per continuare a scendere verso il Purgatorio... di colpo deve incominciare a salire.
Sienna si ricordava poco dell'Inferno dantesco, a parte la delusione nel vedere rappresentata in modo così assurdo l'azione della forza di gravità al centro della terra: a quanto pare il genio di Dante non contemplava la comprensione della fisica delle forze vettoriali.

Perché Sienna Brooks è delusa? Dan Brown non ci dice altro. Cosa dovrebbe invece succedere al centro della Terra, secondo lei, in accordo con la fisica? E davvero Dante Alighieri ha torto? Discutiamone insieme!


Intanto va detto che per Dante, che fa riferimento alla fisica scolastica, non esiste la forza di gravità. La gravità è una proprietà che appartiene agli oggetti materiali, quelli composti dagli elementi terrestri, i quali tendono intrinsecamente a moversi di un moto naturale, ovvero quello che li conduce al centro della Terra. Il contrario della gravità è ovviamente la levità, che appartiene invece agli oggetti composti di elementi celesti, come il fuoco o l'aria, i quali tendono naturalmente ad ascendere alle sfere ultraterrene. Pertanto Dante, una volta attraversato il centro della Terra, si trova improvvisamente a salire anziché a scendere, essendosi improvvisamente l'alto scambiatosi con il basso. Tutto ciò ha un significato metaforico: Dante scende al centro della Terra per poter salire al Purgatorio, il quale si eleva in opposizione all'Inferno, perfettamente in asse con dove questo sprofonda, e da lì infine ascenderà al Paradiso. Ciò rappresenta il percorso di redenzione di un peccatore. Ma al di la di questo, il fenomeno dello scambio di alto e basso è realistico?

Sienna Brooks ritiene di no, e, anche se Dan Brown non ci dice perché, si può supporre che il motivo sia legato alla gravitazione newtoniana, e alla dipendenza della forza di gravità dall'inverso del quadrato della distanza: F=Km/r^2. Tutti sanno che l'accelerazione di gravità è costante sulla superficie terrestre, e vale g=9,8 m/s^2, ma la formula di Newton ci dice come varia questa accelerazione (ovvero a=K/r^2) al variare della distanza r tra un corpo pesante(grave) e il centro della Terra: al diminuire di tale distanza, ovvero avvicinandosi al centro, il peso cresce sempre più, fino a raggiungere un valore infinito quando r=0, ovvero, sembra di poter dire, al centro della Terra.



E' chiaro che non c'entra niente la "fisica vettoriale", ammesso che esista qualcosa con questo nome (Dante certamente non conosceva la fisica newtoniana, ma anche Dan Brown non si può mica definire un fisico dilettante) ma è probabile che Dan Brown, in base alla formula precedente, pensi che al centro della Terra la forza di gravità dovrebbe essere infinita. Se è così si sbaglia.

La formula newtoniana dell'inverso del quadrato infatti vale solo al di fuori della Terra (o fintantoché essa può essere assimilata a un punto materiale). La forza di gravità può essere calcolata esattamente in termini newtoniani, utilizzando la gravitazione universale, attraverso un integrale: ogni singola particella che compone la Terra esercita un'attrazione nei confronti del grave considerato. In effetti è sufficiente la ragionevole ipotesi che la Terra abbia una densità variabile in senso radiale (cioè anche non costante purché uguale per tutti i punti che si trovano alla stessa distanza dal centro) per poter calcolare che, per r>R, dove R è il raggio terrestre, il peso di un grave di massa m è dato da F=Km/r^2. In altre parole si può far finta che tutta la massa della Terra sia concentrata nel suo centro. Ma se r=R o r<R ciò non è più vero e la formula dell'inverso del quadrato non vale più. 

Per r=R ci troviamo sulla superficie terrestre, e lì la forza peso è ovviamente F=mg (dove g=K/R^2). Per r<R quel che accade è che parte della Terra si trova ora "sopra" al corpo e parte "sotto" al corpo (diciamo pure così per semplificare, ma il calcolo è un po' più complesso), ed entrambe le parti attirano il corpo. Perciò, man mano che il corpo penetra nella Terra (ammesso che sia possibile) il suo peso diminuisce gradualmente (si può dimostrare che lo fa in modo lineare: F=kr) fino ad annullarsi completamente, per motivi di simmetria, una volta arrivati al centro. L'andamento reale della forza peso al variare di r è quindi quello dato dalla curva disegnata in rosso:


Certo, una volta che sei in viaggio per il centro della Terra, il peso è l'ultimo dei tuoi problemi: è piuttosto della pressione e del calore che devi preoccuparti! Ma se esistesse un pozzo libero e transitabile (come in effetti succede nell'universo dantesco) che trapassasse la Terra da parte a parte, allora una volta superato il centro della Terra si verificherebbe effettivamente il fenomeno descritto da Dante: l'alto diventa basso e viceversa. In realtà al momento del transito il peso stesso sarebbe talmente piccolo che solo continuando ad allontanarsi dal centro tornerebbe sensibile. In altre parole Dante, prima di sperimentare lo scambio dell'alto con il basso dovrebbe sperimentare l'assenza di gravità. Ma ciò non toglie che quel che descrive nella Divina Commedia è sostanzialmente corretto anche alla luce della fisica newtoniana. Mi spiace, Danny, ma credo che tu lo abbia sottovalutato: Dante la sapeva più lunga di te.

E' interessante chiedersi cosa accadrebbe se esistesse un pozzo (stabile) che attraversasse il nostro pianeta da parte a parte e ci gettassimo dentro un corpo pesante. Poiché la forza F=-kr (il segno meno stavolta ci vuole: poco fa lo abbiamo omesso perché la discesa in verticale si arrestava ad r=0 e ci interessava solo il valore assoluto del peso) è di tipo elastico, il nostro grave oscillerebbe: andrebbe su e giù, facendo capolino dalla parte opposta per poi riaffacciarsi su. Il tempo necessario per completare un'oscillazione armonica e tornare al punto di partenza si può calcolare, e risulta circa un'ora e mezza. Arrivare agli antipodi in un'ora e mezza? Fantastico! Neanche il più veloce degli aeroplani potrebbe fare altrettanto!

Divertente, no? Però non fatelo a casa: la situazione che abbiamo descritto è altamente idealizzata. In particolare non abbiamo preso in considerazione nessun tipo di attrito o resistenza. Più realisticamente (ah, ah, ah!) il moto oscillatorio risulterebbe smorzato (per esempio per via della resistenza dell'aria che riempirebbe il pozzo, a meno di non riuscire a crearci il vuoto pneumatico... cosa in effetti non più incredibile che costruire il pozzo stesso). E quindi, se voi vi buttaste nel pozzo non riuscireste a raggiungere la parte opposta, ma vi fermereste un po' prima, e al completamento dell'oscillazione non raggiungereste il punto di partenza, ma vi fermereste ancora più in basso. In poche parole le oscillazioni attorno al centro si farebbero sempre meno ampie, e infine concludereste il vostro viaggio al centro esatto della Terra, a 6400 km da casa. 

Quindi, se dovete andare in Australia, prendete l'aereo. In ogni caso, direi che Dante Alighieri batte Dan Brown!

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